外積計算サイト
2次元・3次元ベクトルの成分を入力するだけで、外積、外積ベクトルの大きさ、平行四辺形と三角形の面積を計算できます。途中式と平行判定も同時に確認できます。
ベクトル a
ベクトル b
計算履歴
外積計算の使い方
- 2次元または3次元を選びます。
- ベクトル a とベクトル b の各成分を入力します。空欄は 0 として扱います。
- 「外積を計算」を押すと、外積の成分、外積の大きさ、面積、平行判定が表示されます。
- 途中式で、各成分をどのように引き算したかを確認します。
ベクトル外積の公式
3次元ベクトル \( \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) \)、\( \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) \) の外積は、2つのベクトルに垂直な新しいベクトルです。
| 入力 | 表示する外積 | 面積との関係 |
|---|---|---|
| 2次元 | z成分を持つスカラー値 | 絶対値が平行四辺形の面積 |
| 3次元 | 3成分のベクトル | ベクトルの大きさが平行四辺形の面積 |
外積の定義や成分表示をさらに確認したい場合は、Cross Product の解説も参照できます。
外積の計算例
2次元ベクトルの外積
\(\vec{a}=(3,4)\)、\(\vec{b}=(2,-1)\) のとき、z成分は \(3\times(-1)-4\times2=-11\) です。
絶対値 11 が平行四辺形の面積、5.5 が三角形の面積になります。
3次元ベクトルの外積
\(\vec{a}=(1,2,3)\)、\(\vec{b}=(4,-2,1)\) なら、外積は \((8,11,-10)\) です。
外積の大きさは \(\sqrt{285}\) で、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積を表します。
外積の結果から分かること
| 確認したいこと | 見る値 | 判断の目安 |
|---|---|---|
| 平行かどうか | 外積の大きさ | 0なら、零ベクトルを除いて平行 |
| 平行四辺形の面積 | \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) | 外積の大きさをそのまま使う |
| 三角形の面積 | \(\frac12|\vec{a}\times\vec{b}|\) | 平行四辺形の面積を2で割る |
| 向き・法線 | 外積ベクトルの方向 | 右手の法則で向きを確認する |
2つの入力ベクトルの順番を入れ替えると、外積の向きは反対になります。面積だけを見る場合は大きさを使うため、符号や向きとは分けて確認してください。
内積と外積の違い
| 項目 | 内積 | 外積 |
|---|---|---|
| 結果 | 数値 | 主に3次元ではベクトル |
| 主な用途 | 角度、垂直判定、射影 | 面積、法線方向、平行判定 |
| 対応ツール | ベクトル内積計算 | このページの外積計算 |
外積計算のよくある質問
2次元ベクトルの外積はなぜ数値になりますか？
2次元のベクトルをz成分が0の3次元ベクトルとして考えると、外積のx成分とy成分は0になり、z成分だけが残ります。このページでは、そのz成分を表示しています。
外積が0なら何が分かりますか？
どちらも零ベクトルでない場合、外積が0なら2つのベクトルは平行です。零ベクトルを含む場合は、外積が0でも向きの比較はできません。
外積の大きさは何を表しますか？
外積の大きさは、2つのベクトルを隣り合う辺とする平行四辺形の面積です。三角形の面積を求めるときは、その半分を使います。
ベクトルの順番を変えると結果は同じですか？
大きさは同じですが、外積ベクトルの向きは反対になります。\(\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})\) なので、法線方向を扱うときは入力順に注意してください。