ベクトル内積計算サイト
2次元・3次元ベクトルの内積を入力だけで計算できます。ノルム、なす角、垂直かどうか、成分ごとの途中式も同時に確認できます。
ベクトル a
ベクトル b
計算履歴
ベクトル内積計算の使い方
- 2次元または3次元を選びます。
- ベクトル a とベクトル b の各成分を入力します。空欄は 0 として扱います。
- 「内積を計算」を押すと、内積、ノルム、なす角、垂直判定が表示されます。
- 途中式で、どの成分同士を掛けて足したかを確認します。
内積の公式と読み取り方
ベクトル \( \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) \)、\( \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) \) の内積は、対応する成分を掛けて足します。
| 確認したいこと | 見る値 | 判断の目安 |
|---|---|---|
| 垂直かどうか | 内積 | 内積が 0 なら垂直です。 |
| なす角 | \(\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) | 角度が 90° に近いほど直交に近くなります。 |
| 向きの近さ | 内積の符号 | 正なら鋭角、負なら鈍角、0なら直角です。 |
零ベクトルを含む場合、内積そのものは計算できますが、なす角は定義できません。角度の判定には両方のベクトルの長さが必要です。
計算例
2次元ベクトルの内積
\(\vec{a}=(3,4)\)、\(\vec{b}=(2,-1)\) のとき、内積は \(3\times2+4\times(-1)=2\) です。
内積が正なので、2つのベクトルのなす角は鋭角です。
3次元ベクトルの内積
\(\vec{a}=(1,2,3)\)、\(\vec{b}=(4,-2,1)\) のとき、内積は \(1\times4+2\times(-2)+3\times1=3\) です。
3D の場合も計算方法は同じで、対応する成分同士を掛けて足します。
内積と外積の違い
| 項目 | 内積 | 外積 |
|---|---|---|
| 結果 | 数値 | ベクトル |
| よく使う目的 | 角度、垂直判定、射影 | 面積、法線方向、回転方向 |
| このページで扱う範囲 | 2D・3D の内積となす角 | 主キーワードではないため、計算対象外 |
「ベクトル積」は内積ではなく外積を指すことがあります。外積を探している場合は、結果が数値ではなくベクトルになる点に注意してください。
ベクトル内積計算のよくある質問
ベクトルの内積が0なら何が分かりますか？
どちらも零ベクトルでない場合、内積が 0 なら 2つのベクトルは垂直です。零ベクトルを含む場合は、なす角そのものが定義できないため注意してください。
2次元と3次元で内積の計算方法は変わりますか？
基本は同じです。対応する成分同士を掛けて、その合計を求めます。3次元では \(a_3b_3\) の項が増えるだけです。
なす角はどのように計算していますか？
内積を2つのベクトルのノルムの積で割り、\(\cos\theta\) を求めます。その後、逆余弦を使って角度に変換します。
内積と外積は同じですか？
同じではありません。内積は数値を返し、なす角や垂直判定に使います。外積は主に3次元で新しいベクトルを返し、面積や法線方向を調べるときに使います。