最大公約数 計算機
2個から10個の整数を入力すると、最大公約数と最小公倍数を計算し、全公約数、素因数分解、ユークリッドの互除法の途中式を表示します。
最大公約数・最小公倍数を計算
正の整数をカンマ、空白、または改行で区切って入力してください。全角数字にも対応しています。
各整数は1以上10億以下です。小数、負の数、計算式は入力できません。
整数を入力して「公約数を計算」を押すと、ここに結果が表示されます。
最大公約数 計算機で分かること
| 表示項目 | 意味 | 24と36の例 |
|---|---|---|
| 最大公約数（GCD） | 入力したすべての数を割り切れる最大の正の整数 | 12 |
| 最小公倍数（LCM） | 入力したすべての数の共通の倍数で最小の正の整数 | 72 |
| 全公約数 | すべての入力値を余りなく割れる正の整数の一覧 | 1、2、3、4、6、12 |
| 計算過程 | 素因数分解とユークリッドの互除法による確認 | 36 ÷ 24 = 1 余り12 |
結果はブラウザ内だけで計算され、入力した数値をサーバーへ送信しません。分数の約分、通分、比の簡約、周期が重なる時点の確認などに利用できます。
最大公約数の求め方
ユークリッドの互除法
- 大きい数を小さい数で割り、余りを求めます。
- 割った数を新しい大きい数、余りを新しい小さい数にします。
- 余りが0になるまで同じ操作を繰り返します。
- 最後に割った数が最大公約数です。
例えば36と24では、36 ÷ 24 の余りは12、24 ÷ 12 の余りは0なので、最大公約数は12です。3個以上では、最初の2個の最大公約数と次の数を順番に計算します。
素因数分解でも確認できます
24 = 23 × 3、36 = 22 × 32 です。共通する素因数の小さい指数を選ぶと、22 × 3 = 12になります。
アルゴリズムの背景はWolfram MathWorld のユークリッド互除法でも確認できます。
最大公約数と最小公倍数の使い分け
| 目的 | 使う値 | 例 |
|---|---|---|
| 分数を約分する | 最大公約数 | 24/36は両方を12で割って2/3 |
| 同じ大きさに分ける | 最大公約数 | 84個と126個を余りなく同数ずつ分ける |
| 分数を通分する | 最小公倍数 | 分母6と8の最小公倍数24を共通分母にする |
| 周期が再び重なる時点を求める | 最小公倍数 | 12分ごとと18分ごとは36分後に重なる |
2つの正の整数a、bでは GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b が成り立ちます。この計算機は最大公約数を先に求め、積が不必要に大きくならない順序で最小公倍数を計算します。
入力例と結果
24と36
最大公約数は12、最小公倍数は72です。約分や通分の基本例として確認できます。
84・126・210
3個の最大公約数は42です。84と126のGCDを求め、その42と210のGCDを計算します。
35と64
最大公約数は1です。このように共通する素因数を持たない整数の組を「互いに素」といいます。
入力できる数と注意点
- 2個から10個の正の整数を入力できます。
- 各整数は1以上10億以下です。0、負の数、小数、分数、数式には対応していません。
- 同じ数を複数回入力しても計算できます。重複は最大公約数を変えません。
- 1を含む場合、最大公約数は必ず1になります。
- 最小公倍数は入力値によって非常に大きくなることがあります。結果は桁区切りで表示します。
- 「最大公約数」と「最大公倍数」は別の言葉です。通常求めるのは最大公約数と最小公倍数です。
よくある質問
2つの数ではユークリッドの互除法が効率的です。大きい数を小さい数で割り、余りが0になるまで割る数と余りを入れ替えます。このページでは実際の割り算を表で表示します。
はい。2個から10個まで入力できます。最初の2個の最大公約数を求め、その結果と3個目、4個目を順に計算します。
入力したすべての整数に共通する素因数がない場合です。最大公約数が1の数の組は「互いに素」と呼ばれます。
答えを速く求めるなら互除法が便利です。共通する因数の仕組みを学ぶなら素因数分解が分かりやすい方法です。1つの整数の詳しい分解は素因数分解サイトで確認できます。